elektrische Filter aus aktiven Bauteilen

Auf umliegenden Seiten habe ich…
Spannungsteiler und passive Filter
  TP, HP, BP, BS, AP, Doppel-T, Wien-Brücke, etc.
allgemeine OP-Schaltungen   Addierer, Subtrahierer, Instrumenten-Verstärker,
  Integrator, Differenzierer, NIC, Gyrator, Oszillator, etc.
aktive Filter nach Charakter und Aufbau   Güte, Dämpfung,
  Tschebyscheff, Cauer, Butterworth, Legendre, Bessel, Thomson,
  FIR, Nyquist, Raised-Cosine, RRC, Gauß,
  IIR, Sallen-Key, MLF, Linkwitz-Riley, etc.
aktive Filter   TP, HP, BP (Sallen-Key oder MLF),
  BS (Doppel-T, Fliege), etc.

Equalizer

Ob nun ein parametrischer oder graphischer Equalizer,
das Schaltungsprinzip ist gleich.
Je Filter kann ich eine Anhebung oder Absenkung
eines bestimmten Frequenzbereiches bewirken.

graphischer Equalizer

Bei einem graphischen Equalizer habe ich viele Filter mit gleich geringer Güte.
Bei 10 Frequenzbänder im Oktav-Abstand wären das z.B.
31,25   62,5   125   250   500   1 k   2 k   4 k   8 k   16 kHz
Die entsprechende Regel zur Bestimmung der Frequenzen lautet   f_n+1 = 2 x f_n

Bei 15 Frequenzbändern ist es beispielsweise wie folgt:
25    63    160    400    1k    2,5k    6,3k    16k
    40    100    250    630    1,6k    4k    10k
Die entsprechende Regel ist vergleichbar aufgebaut   f_n+1 = √(2) x f_n

Bei 31 Frequenzbändern ist es meist wie folgt:
20    40    80    160    315    630    1,25k    2,5k     5k     10k     20k
  25    50    100    200    400    800    1,6k    3,15k   6,3k   12,5k
   31,5    63    125    250    500    1k       2k     4k       8k      16k
Die entsprechende Regel lautet wie folgt   f_n+1 = ∛(2) x f_n
Ein konkretes Produkt dieser Art wäre z.B. der
Behringer FBQ3102HD Ultragraph Pro   von thomann.de

Anbei eine mögliche Prinzip-Schaltung.

Sie ist zusammengesetzt aus einer Pegel Korrektur-Schaltungen
zur Dämpfung oder Verstärkung eines Signals
und diverser gedämpfter Schwingkreise

parametrischer Equalizer

Bei einem parametrischen Equalizer habe ich
statt der graphischen Darstellung des Frequenzganges durch viele Schieberegler,
nur wenige Filter (z.B. 4 stk).
Dafür kann ich je Filter unabhängig voneinander
die Eckfrequenz und Güte verändern.

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BiQuad-Filter

Wenn man sich die verschiedenen Filter 2. Ordnung anguckt,
z.B. HP - Hochpass, TP - Tiefpass, BP - Bandpass, BS - Bandsperre, AP - Allpass
fällt auf, das im Nenner immer eine Differentialgleichung 2. Ordnung ist → 2 Pole.
Die Lösung der quadratischen Gleichung erfolgt über die pq-Formel.

Die Unterschiede der Filterarten ergeben sich durch die Koeffizienten des Zählers.
→ Nullstellen
Baue ich den Zähler wie den Nenner auf, habe ich ein BiQuad-Filter,
mit dem ich alle zuvor beschriebenen Filterarten realisieren kann.

A / E =  (b'₀ + b'₁s + b'₂s²)   /   (a'₀ + a'₁s + a'₂s²)

Wobei   s = jω   und   s² = - ω²   ist.

Meistens wird eine normalisierte Darstellung bevorzugt.
Sie erreicht man, indem man Zähler und Nenner durch   a'₀   teilt.

A / E = k (b₀ + b₁s + b₂s²)   /   (1 + a₁s + a₂s²)

Nur die Pole des Nenners entscheiden über
Stabilität oder Dämpfung D und Eckfrequenz ω₀.

T²   = a₂ = 1 / ω₀²;
2DT = a₁

Je nach Wahl der Zähler-Koeeffizienten, habe ich ein anderes Filterverhalten.

Im Gegensatz zur Seite aktive Filter, wo die Schaltungen bereits erdacht waren
und ich mich fragte;   Wie komme ich zur bekannten Gleichung?
gehe ich hier den umgekehrten Weg.
Da Schaltungstechnisch Integrierer   1/s   leicht zu realisieren sind,
teile ich Zähler und Nenner durch   s²

Entsprechend müssen dann   E b₀   und   A a₀   an den Anfang von zwei Integrierern.
Da die Integrierer invertierend sind,
muss nach den ersten Integrierer A₁   auch   E b₁   und   A a₁   invertiert werden.
Dafür ist ein weiterer Operationsverstärker   A₄   nötig (siehe Spannung F).
Nach den 2. Integrierer A₂   folgt noch eine Summation von   B, E b₂   und   A a₂   via A₃

Daraus resultiert folgende mögliche Schaltung.
Der Aufwand mag dann sinnvoll sein, wenn jeder Parameter unabhängig einstellbar sein soll.

Die Berechnung erfolgt indem ich an jeden Kotenpunkt
des negativen Eingangs des jeweiligen OPs eine Gleichung aufstelle.

D jωC + E b₀ / R + A a₀ / R = 0     →   D = (- E b₀ - A a₀) / (jωRC)

F / R + A a₁ / R + E b₁ / R = 0   →   F = - A a₁ - E b₁

Dies eingesetzt in folgende Gleichung (2. Integrierer).

B jωC + D / R + F / R = 0   →   B = ( E(b₀ + jωRC b₁ ) + A(a₀ + jωRC a₁) )   /   ( - ω²R²C² )

Dies wiederum eingesetzt in folgende Summations-Gleichung ergibt die Lösung.

E b₂ / R + B / R + A a₂ / R = 0

A / E = - (b₀ + jωRC b₁ - ω²R²C² b₂ )   /   (a₀ + jωRC a₁ - ω²R²C² a₂ )

a₀ = 1
T²    = R²C² a₂
2DT = RC a₁

Als analog-Schaltung hat das BiQuad-Filter aufgrund seines Aufwandes kaum Bedeutung erlangt.
Da dieses Filter 2. Ordnung noch recht leicht zu verstehen ist (Frage: stabil oder nicht?),
ist das BiQuad-Filter recht gebräuchlich bei der digitalen Signal-Verarbeitung.

Allgemein (analog oder digital) werden daher Filter höherer Ordnung
aus der Hintereinanderschaltung von Filtern 1. und 2. Ordnung gebaut.

Obiges BiQuad kann man auch abstrakt wie folgt darstellen (normalisiert: a₀ = 1) .

Dies sieht dann schon recht ähnlich eines zeitdiskreten digitalen BiQuad-Filters aus.

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Abgespecktes Biquad-Filter

Ursprung BiQuad-Filterschaltung:

Wenn man die vorher dargestellte BiQuad-Schaltung genauer anguckt,
fällt auf, daß für TP, HP und BP nur ein Zähler-Koeffizent benötigt wird.
Ich brauch also nicht   R/b₁   über A₄ invertieren → R_v
→ Bei b₀ oder b₂ ist der Ausgang dann negiert,   bei b₁ nicht.

Die negative Rückkopplung der Spannung A   via   R/a₁ (A₁ übersprungen) zum
Integrator-Eingang A₂ kann auch anders realisiert werden.
Z.B. kann die negative Spannung (- D)   (A₂ übersprungen) an den negativen Eingang
des Summierers A₃ angeschlossen werden → R_l.
Um sich die Negation zu sparen, kann der positive Eingang von A₃ via   R_l   genutzt werden.
Es ist jedoch noch ein zusätzlicher Widerstand   R_u   nach Gnd nötig.
Statt nach Gnd, kann   R_u   auch mit der Spannung E   verbunden werden.
Dann wird der Widerstand   R/b₂   überflüssig.

Zum besseren Verständnis kann ich die Summation links statt rechts von den Integrierern zeichnen.
Die Numerierung und Bezeichnungen der Spannungen ist analog zur vorherigen Schaltung.
Die Index Schreibweise habe ich nur der vereinfachten Darstellung wegen verwendet.
z.B.   R_u = R / u
Die Spannung G habe ich vergessen einzuzeichnen und
ergibt sich durch den Spannungsteiler R_u, R_l an den Eingängen von A₃.
(Vernachlässigbare Differenzspannung im normalen Betriebszustand)

Zur Kontrolle erstelle ich erneut die Gleichungen, zuächst an A₃.

(E - G)u + (D - G)l = 0    →   G = (Eu + Dl) / (u + l)
(A - G)k + (B - G)m = 0   →   G = (Ak + Bm) / (k + m)

→ (Eu + Dl)(k + m) - (Ak + Bm)(u + l) = 0

Die Integrierer-Gleichungen lauten wie folgt

D = - (Ev + A) / (jωRC)   =   - jωRC (Ev + A) / ( - ω²R²C² )

B = - (Ew + D) / (jωRC)  =   (Ev + A - jωRC Ew ) / ( - ω²R²C² )

Erste und zweite Gleichung gleichgesetzt und Integrierer-Gleichungen eingesetzt
und nach   A / E   aufgelöst ergibt folgendes.

A / E = - [ - (u + l) vm  + jωRC ( (u + l) wm - (k+m) vl )  - ω²R²C² (k + m) u ]
          /   [   (u + l) m    + jωRC (k + m) l       - ω²R²C² (u + l) k ]

Wenn man nun normalisiert und   m = 1   setzt
ergibt sich Eckfrequenz und Dämpfung wie folgt

T² = R²C² k
2DT = (k + 1) l / (u + l)
Zähler = - v   + jωRC (w - vl (k + 1) / (u + l) )   - ω²R²C² u (k + 1) / (u + l) )

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State variable-Filter

Ursprung abgespeckter BiQuad:

Wenn ich nun keinen Filter benötige,
wo der Ausgang alle Filter-Typen annehmen kann.
Dann kann ich weiter abspecken. Z.B. wie folgt

Zusätzlich zu   m = 1   entferne ich   Ru   und   Rv.
Womit   A / E   zum Hochpass wird.

A / E = - [ - ω²R²C² u (k + 1) / (u + l) ]
          /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω²R²C² k ]

Berechne ich nun   D / E   komme ich auf einen Bandpass.

D / E = ( - jωRC u (k + 1) / (u + l) )
          /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω²R²C² k ]

Und bei   B / E   komme ich auf einen Tiefpass.

B / E = - u (k + 1)   /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω²R²C² k ]

Also drei verschiedene Filterarten stehen gleichzeitig zur Verfügung.
Publiziert wurde das bereits 1967 von den drei Autoren
W.J. Kerwin,   L.P. Huelsman   und   R.W. Newcomb.
Entsprechend ist der Name   Kerwin–Huelsman–Newcomb - KHN-Filter

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Tow Thomas-Filter

Ursprung BiQuad:

Die Anfangs genannte Schaltung kann man auch auf andere Art und Weise abspecken.
Entferne ich  R/b₁  und  R/b₂,  und arbeite lediglich mit  R/b₀,
dann habe ich einen Tiefpass-Filter am Ausgang A.
Setze ich nun  R/a₂ = R  wird   B = - A.
Die Inverterschaltung um A₄ kann ich mir also sparen und  R/a₁ 
direkt parallel zu  C  an A₁ oder A₂ anschließen.

Wenn ich nun  R/a₁  parallel zum Kondensator  C  an A₁ anschließe,
erhalte ich den Tow Tomas-Filter.

Hinter den ersten Integrator erhalte ich einen Bandpass.

D / E = -jωRC b / ( a₀ a₂ + jωRC a₁ - ω²R²C² )

Hinter den zweiten Integrator erhalten ich einen Tiefpass

A / E = - b a₂ / ( a₀ a₂ + jωRC a₁ - ω²R²C² )

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Oszillator

Ursprung BiQuad:

Wie beim Tow-Thomas-Filter beschrieben, gibt es noch weitere Möglichkeiten.

R/b₀  und  R/b₁  schmeiße ich raus oder nutze ihn sehr hochohmig als DC-Offset.
R/b₂,  benötige ich auch nicht mehr.
R/a₂ = R  ist nötig, damit   B = - A   wird.

R/a₁ → R_d   schalte ich wieder parallel zum Kondensator  C .
Allerdings im Gegensatz zum Tow-Thomas-Filter nicht an A₁, sondern an A₂.
Das bedeutet, die linkes Seite des Widerstandes ist am negativen Eingang von A₂
und die rechte Seite am Ausgang von A₂ (Spannung B)
So lange  R_d  Spannung B erhält, wirkt der Widerstand dämpfend.
Schließe ich das rechte Ende an die Spannung A, wirkt der Widerstand entfachend.
Die Schreibweise der Widerstände ist wieder vereinfacht   R_a = R / a

Wird das Poti entsprechend der Ausgangsamplitude gesteuert,
habe ich einen sehr sauber arbeitenden Sinusgenerator.
Zur Amplitudensteuerung kann ich z.B.   D² + B²   nehmen.
Ob nun ein digitales Poti verwendet wird oder
zwei aus giftigen CdS bestehende LDR's das Poti bilden, ist noch offen.

Aus den folgenden drei Gleichungen ergibt sich die Lösung.

A = - B
D jωC + A a / R = 0
B jωC + B d (1 - 2x) / R + D b / R = 0

Für   B   ergibt sich im Nenner

a b + jωRC d (1 - 2x) - ω²R²C²

Wenn   k₁; k₂   kleine Offsett-Fehler der Operationsverstärker sind,
und   B = sin(t) + k₂   ist,
dann ergibt sich als Integral   D = - cos(t) + k₂ t + k₁,
was wiederum erneut Integriert  - sin(t) + k₂ t²/2 + k₁ t
und negiert   B = sin(t) - k₂ t²/2 - k₁ t   ergibt.
→ ein kleiner DC-Offett wird also nicht zu einem Problem.

Gemäß obiger Gleichung ist   2π f = ω₀ = 1 / RC = 1 / (C √(R_a R_b) )
konkretes Beispiel:   1,5 kΩ   &   100 nF   → 1061 Hz
Da die Kapazität bis zu 10% schwanken kann,
sollte 1,35 kΩ < R_a = R_b < 1,65 kΩ einstellbar sein.

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Quellen

dl4cs.de   Equalizer-Schaltung für neun Bereiche mit LC-Kreisen
mikrocontroller.net   Frage zu 3fach Equalizer Schaltung aus Mischpult
netzmafia.de   Texas_SingleSupply.pdf oder SLOA058.pdf
  summing, difference, simulated inductor, Instrumentation Amplifiers,
  Filter (LP, HP, AP),
  (Sallen-Key, Multiple Feedback, Twin T, Fliege, Akerberg-Mossberg, BiQuad, State Variable)
sound-au.com   Wien Bridge Based Parametric Equaliser
techniker-forum.de   Equalizer-Schaltung
electronics-tutorials.ws   State Variable Filter
ieee.org   State-Variable Synthesis for Insensitive Integrated Circuit Transfer Functions
linear.com   AN132f.pdf - Fidelity Testing for AD Converters via Wien-Brücken-Osz.
linear.com   3_357.pdf - Fractional-step Tow-Thomas biquad filters

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